Phương trình trùng phương là tài liệu do VnDoc biên soạn và giới thiệu cho các bạn học sinh và thầy cô nghiên cứu, học tập tốt môn Toán 9 cũng như luyện tập nhằm chuẩn bị tốt nhất cho các kì thi sắp diễn ra. Mời các bạn tham khảo.
- Chuyên đề Phương trình bậc hai chứa tham số Toán 9 (Có đáp án)
- Chuyên đề Tứ giác nội tiếp Toán 9 (Có đáp án)
- Tổng hợp các dạng Toán ôn thi vào 10 – Phần 1: Đại số
- Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
Tài liệu sẽ đưa ra định nghĩa về phương trình trùng phương, cách giải và số nghiệm của phương trình này. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về phương trình bậc hai và cách vận dụng vào giải các bài Toán lớp 9.
I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về phương trình trùng phương
1. Định nghĩa về phương trình trùng phương
+ Phương trình trùng phương theo định nghĩa là phương trình bậc 4 có dạng: 
với
2. Cách giải phương trình trùng phương
+ Ta đặt với điều kiện do
+ Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc hai ẩn t:
+ Giải phương trình bậc hai ẩn t, kết hợp với điều kiện
+ Với mỗi giá trị t tìm được, ta sẽ tìm được các nghiệm x tương ứng của phương trình
3. Số nghiệm của phương trình trùng phương
Cho phương trình trùng phương (1) với
Ta đặt với điều kiện , phương trình trở thành phương trình bậc hai ẩn t: (2)
+ Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt 0 P > 0 S > 0 end{array} right.” width=”96″ height=”73″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0 P > 0 S > 0 end{array} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5CDelta%20%20%3E%200%5C%5C%0AP%20%3E%200%5C%5C%0AS%20%3E%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.”>
+ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 0 P = 0 S > 0 end{array} right.” width=”96″ height=”73″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0 P = 0 S > 0 end{array} right.” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5CDelta%20%20%3E%200%5C%5C%0AP%20%3D%200%5C%5C%0AS%20%3E%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.”>
+ Phương trình (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại âm hoặc
+ Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình hai vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm
II. Bài tập ví dụ về giải phương trình trùng phương
Bài 1: Giải phương trình trùng phương:
Lời giải:
Đặt
Phương trình trở thành (1)
Có 0″ width=”372″ height=”23″ data-latex=”Delta = {b^2} – 4ac = {7^2} – 4.1.10 = 49 – 40 = 9 > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CDelta%20%20%3D%20%7Bb%5E2%7D%20-%204ac%20%3D%20%7B7%5E2%7D%20-%204.1.10%20%3D%2049%20-%2040%20%3D%209%20%3E%200″>
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
(tm) và (loại)
Với
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1 hoặc x = -1
Bài 2: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
Lời giải:
Với , phương trình đã cho trở thành:
(loại)
Với , phương trình đã cho là phương trình trùng phương:
(1)
Đặt
Phương trình trở thành (2)
Có ,
và
Có P khác 0 nên phương trình không có nghiệm bằng 0 nên phương trình (1) không có 3 nghiệm phân biệt hoặc 1 nghiệm
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương 0 P > 0 S > 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 17 + 4m > 0 frac{{ – 3}}{{m + 2}} > 0 frac{{ – 1}}{{m + 2}} > 0 end{array} right. Leftrightarrow ge left{ begin{array}{l} m > frac{{ – 17}}{4} m < – 2 end{array} right. Leftrightarrow frac{{ – 17}}{4} < m < – 2″ width=”542″ height=”92″ data-latex=”Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta > 0 P > 0 S > 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 17 + 4m > 0 frac{{ – 3}}{{m + 2}} > 0 frac{{ – 1}}{{m + 2}} > 0 end{array} right. Leftrightarrow ge left{ begin{array}{l} m > frac{{ – 17}}{4} m < – 2 end{array} right. Leftrightarrow frac{{ – 17}}{4} < m < – 2″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5CDelta%20%20%3E%200%5C%5C%0AP%20%3E%200%5C%5C%0AS%20%3E%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A17%20%2B%204m%20%3E%200%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%7B%20-%203%7D%7D%7B%7Bm%20%2B%202%7D%7D%20%3E%200%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%7B%20-%201%7D%7D%7B%7Bm%20%2B%202%7D%7D%20%3E%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%20%5Cge%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Am%20%3E%20%5Cfrac%7B%7B%20-%2017%7D%7D%7B4%7D%5C%5C%0Am%20%3C%20%20-%202%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7B%7B%20-%2017%7D%7D%7B4%7D%20%3C%20m%20%3C%20%20-%202″>
Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc hai nghiệm phân biệt âm
0 P < 0 S > 0 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 17 + 4m < 0 left{ begin{array}{l} 17 + 4m > 0 m + 2 < 0 m + 2 > 0 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow 17 + 4m < 0 Leftrightarrow m < frac{{ – 17}}{4}” width=”525″ height=”100″ data-latex=”Leftrightarrow left[ begin{array}{l} Delta < 0 left{ begin{array}{l} Delta > 0 P < 0 S > 0 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 17 + 4m < 0 left{ begin{array}{l} 17 + 4m > 0 m + 2 < 0 m + 2 > 0 end{array} right. end{array} right. Leftrightarrow 17 + 4m < 0 Leftrightarrow m < frac{{ – 17}}{4}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5CDelta%20%20%3C%200%5C%5C%0A%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%5CDelta%20%20%3E%200%5C%5C%0AP%20%3C%200%5C%5C%0AS%20%3E%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A17%20%2B%204m%20%3C%200%5C%5C%0A%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A17%20%2B%204m%20%3E%200%5C%5C%0Am%20%2B%202%20%3C%200%5C%5C%0Am%20%2B%202%20%3E%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%2017%20%2B%204m%20%3C%200%20%5CLeftrightarrow%20m%20%3C%20%5Cfrac%7B%7B%20-%2017%7D%7D%7B4%7D”>
Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
, phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
, phương trình (1) vô nghiệm
III. Bài tập tự luyện về giải phương trình trùng phương
Bài 1: Giải các phương trình trùng phương dưới đây:
a,
b,
c,
d,
e,
f,
Bài 2: Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu nghiệm?
a,
b,
c,
d,
Bài 3: Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
–
Ngoài chuyên đề về phương trình trùng phương và cách giải phương trình trùng phương Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, … và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!
